神经网络在1980年代复兴归功于物理学家约翰·霍普菲尔德（Hopfield）。1982年，霍普菲尔德提出了一种新的神经网络，可以解决一大类模式识别问题，还可以给出一类组合优化问题的近似解。这种神经网络模型后被称为Hopfield神经网络。
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
Hopfield神经网络是一种循环神经网络[请参见公众号“科技优化生活”之人工智能（23）]，由约翰·霍普菲尔德发明，他将物理学的相关思想（动力学）引入到神经网络的构造中，从而形成了Hopfield神经网络。贝尔实验室在1987年成功在Hopfield神经网络的基础上研制出了神经网络芯片。
Hopfield神经网络是一种递归神经网络，从输出到输入均有反馈连接，每一个神经元跟所有其他神经元相互连接，又称为全互联网络。
Hopfield神经网络概述：
Hopfield神经网络HNN（Hopfiled Neural Network)是一种结合存储系统和二元系统的神经网络。它保证了向局部极小的收敛，但收敛到错误的局部极小值（local minimum），而非全局极小（global minimum）的情况也可能发生。Hopfield神经网络也提供了模拟人类记忆的模型。
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
Hopfield神经网络是反馈神经网络，其输出端又会反馈到其输入端，在输入的激励下，其输出会产生不断的状态变化，这个反馈过程会一直反复进行。假如Hopfield神经网络是一个收敛的稳定网络，则这个反馈与迭代的计算过程所产生的变化越来越小，一旦达到了稳定的平衡状态，Hopfield网络就会输出一个稳定的恒值。
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
对于一个Hopfield神经网络来说，关键在于确定它在稳定条件下的权系数。
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
Hopfield神经网络分为两种：1）离散型Hopfield神经网络；2）连续型Hopfield神经网络。
离散型Hopfield神经网络：
Hopfield最早提出的网络是二值神经网络，各神经元的激励函数为阶跃函数或双极值函数,神经元的输入、输出只取{0，1}或者{ -1，1}，所以也称为离散型Hopfield神经网络DHNN（Discrete Hopfiled Neural Network）。在DHNN中，所采用的神经元是二值神经元；因此，所输出的离散值1和0或者1和-1分别表示神经元处于激活状态和抑制状态。
离散Hopfield神经网络DHNN是一个单层网络，有n个神经元节点，每个神经元的输出均接到其它神经元的输入。各节点没有自反馈。每个节点都可处于一种可能的状态（1或－1），即当该神经元所受的刺激超过其阀值时，神经元就处于一种状态（比如1），否则神经元就始终处于另一状态（比如－1）。
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
DHNN有两种工作方式：
1）串行（异步）方式：在时刻t时，只有某一个神经元j的状态发生变化，而其他n-1个神经元的状态不变，称为串行工作方式。并且有：
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2）并行（同步）方式：在任一时刻t，所有的神经元的状态都产生了变化，称为并行工作方式。并且有：
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DHNN稳定性：
假设一个DHNN，其状态为Y(t):
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
如果对于任何Δt>0，当神经网络从t=0开始，有初始状态Y(0)。经过有限时刻t，有：
Y(t+Δt)=Y(t)
则认为该DHNN网络是稳定的，称其状态为为稳定状态。DHNN网络的稳定状态X就是网络的吸引子(attractor)，用于存储记忆信息。串行方式下的稳定性称为串行稳定性；并行方式下的稳定性称为并行稳定性。
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
DHNN是一种多输入、含有阈值的二值非线性动态系统。在动态系统中，平衡稳定状态可以理解为系统某种形式的能量函数（energy function）在系统运行过程中，其能量不断减少，最后处于最小值。
DHNN稳定的充分条件：如果DHNN的权系数矩阵W是一个对称矩阵，并且对角线元素为0，则这个网络是稳定的。即在权系数矩阵W中，如果：
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则该DHNN是稳定的。
W是一个对称矩阵仅是充分条件，不是必要条件。
DHNN联想记忆功能：
DHNN一个重要功能是可以用于联想记忆，即联想存储器，这是人类的智能特点之一。
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
要实现联想记忆，DHNN必须具有两个基本条件：
1) 网络能收敛到稳定的平衡状态，并以其作为样本的记忆信息；
2) 具有回忆能力，能够从某一残缺的信息回忆起所属的完整的记忆信息。
DHNN实现联想记忆过程分为两个阶段：
1)学习记忆阶段: 设计者通过某一设计方法确定一组合适的权值，使DHNN记忆期望的稳定平衡点。
2)联想回忆阶段: DHNN的工作过程。
记忆是分布式的，而联想是动态的。
对于DHNN，由于网络状态是有限的，不可能出现混沌状态。
DHNN局限性：
1）记忆容量的有限性；
2）伪稳定点的联想与记忆；
3）当记忆样本较接近时，网络不能始终回忆出正确的记忆等；
4）DHNN平衡稳定点不可以任意设置，也没有一个通用的方式来事先知道平衡稳定点。
连续型Hopfield神经网络：
连续Hopfield神经网络CHNN（Continuous Hopfield Neural Network）与DHNN在拓扑结构上是一致的。
CHNN稳定性：
CHNN稳定条件要求：
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
CHNN与DHNN不同之处在于其函数g不是阶跃函数，而是S型的连续函数。一般取：
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CHNN在时间上是连续的，所以CHNN网络中各个神经元是处于同步方式工作的。
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
当CHNN网络的神经元传递函数g是连续且有界的（如Sigmoid函数），并且CHNN网络的权值系数矩阵对称，则这个CHNN网络是稳定的。
优化问题：
在实际应用中的系统，如果其优化问题可以用能量函数E(t)作为目标函数，那么CHNN网络和优化问题直接对应。这样，大量优化问题都可以用CHNN网络来求解。这也是Hopfield网络用于神经计算的基本原因。
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
CHNN与DHNN主要区别：
CHNN与DHNN的主要差别在于：CHNN神经元激活函数使用Sigmoid函数，而DHNN神经元激活函数使用了硬极限函数。
Hopfield神经网络应用：
Hopfield神经网络早期应用包括按内容寻址存储器，模数转换及优化组合计算等。具有代表意义的是解决TSP问题，1985年Hopfield和Tank用Hopfield网络求解N=30的TSP问题，从而创建了神经网络优化的新途径。除此之外，Hopfield 神经网络在人工智能之机器学习、联想记忆、模式识别、优化计算、VLSI和光学设备的并行实现等方面有着广泛应用。
人工智能之Hopfield神经网络（HNN）
结语:
Hopfield神经网络（HNN）是一种具有循环、递归特性，结合存储和二元系统的神经网络。由约翰·霍普菲尔德在1982年发明。对于一个Hopfield神经网络来说，关键在于确定它在稳定条件下的权系数。Hopfield神经网络分为离散型和连续型两种，主要差别在于激活函数的不同。Hopfield神经网络（HNN）提供了模拟人类记忆的模型。它在人工智能之机器学习、联想记忆、模式识别、优化计算、VLSI和光学设备的并行实现等方面有着广泛应用。